| 举一个无限个无穷小的乘积不是无穷小的例子 |
定义函数列如下:
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1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).
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2.f1(x)=1, x∈[1,2)
XfrITH http://blog.numino.net/
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
bnABoi http://blog.numino.net/
3.n>1,
pic4Ef http://blog.numino.net/
fn(x)=1, x∈[1,n)
Qlm3fS http://blog.numino.net/
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
SSAutC http://blog.numino.net/
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
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4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x),
TgWO88 http://blog.numino.net/
ⅰ.x∈[1,2)
5wgpDd http://blog.numino.net/
==>fn(x)=1
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==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1
SnK2Uz http://blog.numino.net/
ⅱ.x∈[k,k+1),k>1
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fn(x)=1/x,n≤k-1
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fk(x)=x^(k-1),
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fn(x)=1,k+1≤n
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F(x)=∏{1≤n}fn(x)=
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=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=
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=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=
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=1
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所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.
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但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.
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(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)
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所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.
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一致连续这个知识点并不在一般高校高等数学的教学计划内。
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无穷小定义lim<x→>α(x)=0，x可以趋于定点，也可以趋于无穷．
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下面假定x→+∞，,x趋于定点的证明类似．
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对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,
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有|α(x)|<ε
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设βi(x)=α1(x)α2(x)…αi(x)，lim<x→+∞>αi(x)=0（i=1,2,…），β(x)=lim<n→∞>βn(x)
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只有当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积才是是无穷小。
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由lim<x+∞>αi(x)=0知
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对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,有|αi(x)|<ε(1≤i≤n)
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得到|α1(x)α2(x)…αn(x)|<ε^n
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两边令n→∞，得
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|lim<n→∞>α1(x)α2(x)…αn(x)|≤lim<n→∞>ε^n=0
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故lim<x→∞>β(x)=0
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以上即证明了当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积仍是无穷小．
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