| 数组的完全随机排列算法javascript实现 |
Array.prototype.sort 方法被许多 JavaScript 程序员误用来随机排列数组。最近做的前端星计划挑战项目中，一道实现 blackjack 游戏的问题，就发现很多同学使用了 Array.prototype.sort 来洗牌。就连最近一期 JavaScript Weekly上推荐的一篇文章也犯了同样的错误。
AjRwi1 http://www.numino.net
以下就是常见的完全错误的随机排列算法：
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function shuffle(arr){
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return arr.sort(function(){
HR78rr http://www.numino.net
return Math.random() - 0.5;
8klHG9 http://www.numino.net
});
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}
7KJ73d http://www.numino.net
以上代码看似巧妙利用了 Array.prototype.sort 实现随机，但是，却有非常严重的问题，甚至是完全错误。
GI6Cee http://www.numino.net
证明 Array.prototype.sort 随机算法的错误
8AwsUW http://www.numino.net
为了证明这个算法的错误，我们设计一个测试的方法。假定这个排序算法是正确的，那么，将这个算法用于随机数组 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，如果算法正确，那么每个数字在每一位出现的概率均等。因此，将数组重复洗牌足够多次，然后将每次的结果在每一位相加，最后对每一位的结果取平均值，这个平均值应该约等于 (0 + 9) / 2 = 4.5，测试次数越多次，每一位上的平均值就都应该越接近于 4.5。所以我们简单实现测试代码如下：
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var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
49XbQK http://www.numino.net
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
skJG9f http://www.numino.net
var t = 10000;
mdb1YE http://www.numino.net
for(var i = 0; i < t; i++){
CVj6io http://www.numino.net
var sorted = shuffle(arr.slice(0));
jXwkeG http://www.numino.net
sorted.forEach(function(o,i){
5lvJp1 http://www.numino.net
res[i] += o;
QbFS42 http://www.numino.net
});
OJNaq1 http://www.numino.net
}
8Eqm80 http://www.numino.net
res = res.map(function(o){
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return o / t;
OE13eS http://www.numino.net
});
ty0KEb http://www.numino.net
console.log(res);
Q5dc0N http://www.numino.net
将上面的 shuffle 方法用这段测试代码在 chrome 浏览器中测试一下，可以得出结果，发现结果并不随机分布，各个位置的平均值越往后越大，这意味着这种随机算法越大的数字出现在越后面的概率越大。
rFRZQJ http://www.numino.net
为什么会产生这个结果呢？我们需要了解 Array.prototype.sort 究竟是怎么作用的。
QdZ9ue http://www.numino.net
首先我们知道排序算法有很多种，而 ECMAScript 并没有规定 Array.prototype.sort 必须使用何种排序算法。在这里，有兴趣的同学不妨看一下 JavaScriptCore 的源码实现：
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排序不是我们今天讨论的主题，但是不论用何种排序算法，都是需要进行两个数之间的比较和交换，排序算法的效率和两个数之间比较和交换的次数有关系。
f4ryDo http://www.numino.net
最基础的排序有冒泡排序和插入排序，原版的冒泡或者插入排序都比较了 n(n-1)/2 次，也就是说任意两个位置的元素都进行了一次比较。那么在这种情况下，如果采用前面的 sort 随机算法，由于每次比较都有 50% 的几率交换和不交换，这样的结果是随机均匀的吗？我们可以看一下例子：
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function bubbleSort(arr, compare){
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var len = arr.length;
Fk65Dh http://www.numino.net
for(var i = 0; i < len - 1; i++){
SQK1x7 http://www.numino.net
for(var j = 0; j < len - 1 - i; j++){
hUZ6PN http://www.numino.net
var k = j + 1;
3a3Xto http://www.numino.net
if(compare(arr[j], arr[k]) > 0){
bgR2X4 http://www.numino.net
var tmp = arr[j];
l3qnt7 http://www.numino.net
arr[j] = arr[k];
4uEEdi http://www.numino.net
arr[k] = tmp;
mP2x71 http://www.numino.net
}
zfHJHV http://www.numino.net
}
PaM90L http://www.numino.net
}
br2FO2 http://www.numino.net
return arr;
m47Xvv http://www.numino.net
}
y7SXU1 http://www.numino.net
function shuffle(arr){
FQ4cif http://www.numino.net
return bubbleSort(arr, function(){
spSMB4 http://www.numino.net
return Math.random() - 0.5;
ltwQvM http://www.numino.net
});
Z0Z8v4 http://www.numino.net
}
4ue5qe http://www.numino.net
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
raU1TG http://www.numino.net
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
ICIC8z http://www.numino.net
var t = 10000;
Z4Y1lN http://www.numino.net
for(var i = 0; i < t; i++){
WX8K12 http://www.numino.net
var sorted = shuffle(arr.slice(0));
2QOAh9 http://www.numino.net
sorted.forEach(function(o,i){
6q0z47 http://www.numino.net
res[i] += o;
gGSnU7 http://www.numino.net
});
DNctBe http://www.numino.net
}
8Re3zy http://www.numino.net
res = res.map(function(o){
o0oEz7 http://www.numino.net
return o / t;
UbR2je http://www.numino.net
});
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console.log(res);
170aV7 http://www.numino.net
上面的代码的随机结果也是不均匀的，测试平均值的结果越往后的越大。（笔者之前没有复制原数组所以错误得出均匀的结论，已更正于 2016-05-10）
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冒泡排序总是将比较结果较小的元素与它的前一个元素交换，我们可以大约思考一下，这个算法越后面的元素，交换到越前的位置的概率越小（因为每次只有50%几率“冒泡”），原始数组是顺序从小到大排序的，因此测试平均值的结果自然就是越往后的越大（因为越靠后的大数出现在前面的概率越小）。
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我们再换一种算法，我们这一次用插入排序：
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function insertionSort(arr, compare){
Cs89Es http://www.numino.net
var len = arr.length;
5lvw7O http://www.numino.net
for(var i = 0; i < len; i++){
9JJ6N6 http://www.numino.net
for(var j = i + 1; j < len; j++){
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if(compare(arr[i], arr[j]) > 0){
5r66ms http://www.numino.net
var tmp = arr[i];
4lMZpg http://www.numino.net
arr[i] = arr[j];
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arr[j] = tmp;
0vq6LD http://www.numino.net
}
jzezFs http://www.numino.net
}
ABArx2 http://www.numino.net
}
lR76wn http://www.numino.net
return arr;
STxJWq http://www.numino.net
}
aUo1OB http://www.numino.net
function shuffle(arr){
SVNRJJ http://www.numino.net
return insertionSort(arr, function(){
0M56ub http://www.numino.net
return Math.random() - 0.5;
BI1b56 http://www.numino.net
});
6OZUhL http://www.numino.net
}
9WuYH8 http://www.numino.net
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
k76GHu http://www.numino.net
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
VsBkiN http://www.numino.net
var t = 10000;
vdl1Pg http://www.numino.net
for(var i = 0; i < t; i++){
aATYQ1 http://www.numino.net
var sorted = shuffle(arr.slice(0));
nmj0C3 http://www.numino.net
sorted.forEach(function(o,i){
LfIHA1 http://www.numino.net
res[i] += o;
nGE9xr http://www.numino.net
});
9TsDQb http://www.numino.net
}
9tv1C9 http://www.numino.net
res = res.map(function(o){
LFEbcM http://www.numino.net
return o / t;
Zxl2pt http://www.numino.net
});
7T5JFu http://www.numino.net
console.log(res);
pazA98 http://www.numino.net
由于插入排序找后面的大数与前面的数进行交换，这一次的结果和冒泡排序相反，测试平均值的结果自然就是越往后越小。原因也和上面类似，对于插入排序，越往后的数字越容易随机交换到前面。
19adv9 http://www.numino.net
所以我们看到即使是两两交换的排序算法，随机分布差别也是比较大。除了每个位置两两都比较一次的这种排序算法外，大多数排序算法的时间复杂度介于 O(n) 到 O(n2) 之间，元素之间的比较次数通常情况下要远小于 n(n-1)/2，也就意味着有一些元素之间根本就没机会相比较（也就没有了随机交换的可能），这些 sort 随机排序的算法自然也不能真正随机。
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我们将上面的代码改一下，采用快速排序：
Tk7M1e http://www.numino.net
function quickSort(arr, compare){
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arr = arr.slice(0);
88ZskZ http://www.numino.net
if(arr.length <= 1) return arr;
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var mid = arr[0], rest = arr.slice(1);
8b9gCI http://www.numino.net
var left = [], right = [];
xnsomp http://www.numino.net
for(var i = 0; i < rest.length; i++){
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if(compare(rest[i], mid) > 0){
k7Yt64 http://www.numino.net
right.push(rest[i]);
lqNaIn http://www.numino.net
}else{
s6bq47 http://www.numino.net
left.push(rest[i]);
9Q4JY8 http://www.numino.net
}
b48av6 http://www.numino.net
}
mUHF56 http://www.numino.net
return quickSort(left, compare).concat([mid])
xqD22c http://www.numino.net
.concat(quickSort(right, compare));
y285M1 http://www.numino.net
}
n6Gic2 http://www.numino.net
function shuffle(arr){
KeTNwF http://www.numino.net
return quickSort(arr, function(){
guGKaG http://www.numino.net
return Math.random() - 0.5;
ZgQs34 http://www.numino.net
});
HGb2IS http://www.numino.net
}
KhB0KB http://www.numino.net
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
CJ8cDK http://www.numino.net
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
QpbXZn http://www.numino.net
var t = 10000;
20g0PP http://www.numino.net
for(var i = 0; i < t; i++){
PuD2GR http://www.numino.net
var sorted = shuffle(arr.slice(0));
PfPwle http://www.numino.net
sorted.forEach(function(o,i){
8t0cYs http://www.numino.net
res[i] += o;
R7q5Jq http://www.numino.net
});
RZxu16 http://www.numino.net
}
Q7Nsnu http://www.numino.net
res = res.map(function(o){
Twy8Ag http://www.numino.net
return o / t;
XB6pFq http://www.numino.net
});
3ZGl31 http://www.numino.net
console.log(res);
6I63iX http://www.numino.net
快速排序并没有两两元素进行比较，它的概率分布也不随机。
lvm0cB http://www.numino.net
所以我们可以得出结论，用 Array.prototype.sort 随机交换的方式来随机排列数组，得到的结果并不一定随机，而是取决于排序算法是如何实现的，用 JavaScript 内置的排序算法这么排序，通常肯定是不完全随机的。
aQ2A30 http://www.numino.net
经典的随机排列
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所有空间复杂度 O(1) 的排序算法的时间复杂度都介于 O(nlogn) 到 O(n2) 之间，因此在不考虑算法结果错误的前提下，使用排序来随机交换也是慢的。事实上，随机排列数组元素有经典的 O(n) 复杂度的算法：
K7134c http://www.numino.net
function shuffle(arr){
zc7vk3 http://www.numino.net
var len = arr.length;
06p01w http://www.numino.net
for(var i = 0; i < len - 1; i++){
sQ33h5 http://www.numino.net
var idx = Math.floor(Math.random() * (len - i));
kLFRV8 http://www.numino.net
var temp = arr[idx];
OpBCDU http://www.numino.net
arr[idx] = arr[len - i - 1];
rFufEO http://www.numino.net
arr[len - i -1] = temp;
X5Q35z http://www.numino.net
}
Ug719D http://www.numino.net
return arr;
u9rwQi http://www.numino.net
}
fMCJ80 http://www.numino.net
在上面的算法里，我们每一次循环从前 len - i 个元素里随机一个位置，将这个元素和第 len - i 个元素进行交换，迭代直到 i = len - 1 为止。
bC4B9A http://www.numino.net
我们同样可以检验一下这个算法的随机性：
Nl1G25 http://www.numino.net
function shuffle(arr){
PwH496 http://www.numino.net
var len = arr.length;
pXzu9I http://www.numino.net
for(var i = 0; i < len - 1; i++){
goda4P http://www.numino.net
var idx = Math.floor(Math.random() * (len - i));
Hr23N0 http://www.numino.net
var temp = arr[idx];
v8KBJ8 http://www.numino.net
arr[idx] = arr[len - i - 1];
R4xvhD http://www.numino.net
arr[len - i -1] = temp;
rRgE37 http://www.numino.net
}
L4175u http://www.numino.net
return arr;
268hyR http://www.numino.net
}
Gtnm8h http://www.numino.net
var arr = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
pag5Tj http://www.numino.net
var res = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
840J6D http://www.numino.net
var t = 10000;
cBR8yc http://www.numino.net
for(var i = 0; i < t; i++){
uRuqio http://www.numino.net
var sorted = shuffle(arr.slice(0));
j5X949 http://www.numino.net
sorted.forEach(function(o,i){
sMz3h5 http://www.numino.net
res[i] += o;
5Y7Ap6 http://www.numino.net
});
DxBnwX http://www.numino.net
}
Dr76rx http://www.numino.net
res = res.map(function(o){
9z9XN0 http://www.numino.net
return o / t;
wUI0FZ http://www.numino.net
});
2lNWk6 http://www.numino.net
console.log(res);
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从结果可以看出这个算法的随机结果应该是均匀的。不过我们的测试方法其实有个小小的问题，我们只测试了平均值，实际上平均值接近只是均匀分布的必要而非充分条件，平均值接近不一定就是均匀分布。不过别担心，事实上我们可以简单从数学上证明这个算法的随机性。
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随机性的数学归纳法证明
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对 n 个数进行随机：
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首先我们考虑 n = 2 的情况，根据算法，显然有 1/2 的概率两个数交换，有 1/2 的概率两个数不交换，因此对 n = 2 的情况，元素出现在每个位置的概率都是 1/2，满足随机性要求。
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假设有 i 个数， i >= 2 时，算法随机性符合要求，即每个数出现在 i 个位置上每个位置的概率都是 1/i。
P91S48 http://www.numino.net
对于 i + 1 个数，按照我们的算法，在第一次循环时，每个数都有 1/(i+1) 的概率被交换到最末尾，所以每个元素出现在最末一位的概率都是 1/(i+1) 。而每个数也都有 i/(i+1) 的概率不被交换到最末尾，如果不被交换，从第二次循环开始还原成 i 个数随机，根据 2. 的假设，它们出现在 i 个位置的概率是 1/i。因此每个数出现在前 i 位任意一位的概率是 (i/(i+1)) * (1/i) = 1/(i+1)，也是 1/(i+1)。
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综合 1. 2. 3. 得出，对于任意 n >= 2，经过这个算法，每个元素出现在 n 个位置任意一个位置的概率都是 1/n。
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总结
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一个优秀的算法要同时满足结果正确和高效率。很不幸使用 Array.prototype.sort 方法这两个条件都不满足。因此，当我们需要实现类似洗牌的功能的时候，还是应该采用巧妙的经典洗牌算法，它不仅仅具有完全随机性还有很高的效率。
pIZHem http://www.numino.net
除了收获这样的算法之外，我们还应该认真对待这种动手分析和解决问题的思路，并且捡起我们曾经学过而被大多数人遗忘的数学（比如数学归纳法这种经典的证明方法）。
XMa8a4 http://www.numino.net
有任何问题欢迎与作者探讨~
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